2017年中国地质大学(北京)数理学院612基础数学考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设为使
【答案】
先证
在则存
在
(
使得
对
介
于
上不能恒为正，也不能恒为负. 用反证法，
假设恒有
使
得
设
由泰勒定理得
，
这
与
使
使得
在则存在
这与假设
之间) . 于
是
上的二阶可导函数，若在
上有界，则存在
上有界矛盾. 再用反证法证明原命题. 假设不存在
应用达布定理可知，存在
矛盾，故原命题得证。
2． 设在上二阶可导，且
【答案】由已知条件可知
，
则必有
由凹函数的性质，对任意的对上式两边在
上积分，可得：
由于
则
从而，对任意的
有
3． 设角是常数).
【答案】
可微，证明：在坐标旋转变换
则必有有
证明：
是
上的严格凹函数.
设
是
的最大值点，
之下是一(其中旋转
个形式不变量，即若
故
4． 设
【答案】因
时，有
令
收敛，且
，
在
在
上一致连续，证明
=0.
使得当
且
上一致连续，故对于
则由积分第一中值定理得，
使得因对上述的
当取
存在时，
则当收敛，故级数
使得
时，因
收敛，从而
即
也即
故
故存在惟一的
使得
易见
且
5． 设函数项级数在D 上一致收敛于
【答案】不妨设存在对任意
在D 上一致收敛于
对任意
有
均有
因
在D 上一致收敛于
从而，对任意
所以
在D 上一致收敛于
6． 设f ，g 为D 上的非负有界函数. 证明：
(1) (2)
【答案】(1) 对任意
于是
从而
函数在D 上有界，证明级数
故
存在N>0, 当n>N时，对任意
所以
(2) 对任意
于是
所以
7． 证明若
【答案】因为
于是，对于得到的这个
当
故定的
因此
这是因为
存在
设则
当且仅当A 为何值时反之也成立？
所以对任给的
存在时，也有
则对任意给
但
不存在，
使得当
时，
当且仅当A=0时，逆命题成立. 证明如下：如果使得当
对于函数
时，有
有
即
二、解答题
8． 求椭圆
的内接矩形中面积最大的矩形.
则矩形面积为
求又
即点
是函数
在
内的最大值点，从而也是函数
在
内的最大值点，
的最大值点等价于求.
的最大值点. 从
【答案】设内接矩形的第一象限内的顶点为
故最大内接矩形的面积为