2017年中国海洋大学数学科学学院617数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． (1) 叙述极限证明
不存在.
【答案】(1)
设
(2)
设
在总存
在
则
2． 证明若
【答案】因为
于是，对于得到的这个
当
故定的
因此
这是因为 3． 证明
:
【答案】令
则
原式
对上式右端第二个积分，作变换
原式
这里用到了在
4． 设
证明函数
在D 上不可积.
【答案】对D 上任意分割
，若在每个取点
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的柯西准则；(2) 根据柯西准则叙述在
上有定义，
极限上有定义，极
阳
使
得
并且故
不存在的充要条件，并应用它
存在实数' 对任
何
得
不存在.
存在的充要条件是：任给
不存在的充要条件是
：
取
对任给
的
使得对任何
则当且仅当A 为何值时反之也成立？
所以对任给的
存在时，也有
则对任意给
但
不存在，
使得当
时，
当且仅当A=0时，逆命题成立. 证明如下：如果
存在
使得当设
对于函数
则有
故
时，有
有
即
使皆为有理数，则
若在每个在(当
5． 设
取点时) . 即
为非有理点，则在D 上不可积.
在I 上一致连续.
使得
使得当
^
再由时，
有
因此
的极限不存
是区间I 上有界且一致连续的函数，求证：
在区间I 上有界，则存在
存在
的一致连续性得到，
对于任意
【答案】由于
从而
所以
在区间I 上一致连续.
用条件极值方法证明：
【答案】先求
设令
解得由于当
或
时，F 都趋于所以
故F 必在惟一稳定点
处有最小值，即
成立.
甶条件
下的最小值.
6． 设n 为正整数，
二、解答题
7． 研究函数
【答案】由
于
当
时，
当
时，
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的连续性，其中在
在闭区间上是正的连续函数.
上是正的连续函数，故存在正数m , 使得
，
因此
所以
连续.
8． 举例说明
：
【答案】
例如
但
不存在
其中C 为球面被球面，
与平面.
的交线，
收敛且f
在
令
得
上连续时，不一定有
收敛，且
在
上连续，
在
处不连续，当
在
上连续，所以当
时，函数
9． 计算线积分
【答案】记S 是平面，面的单位法向量
从Ox 轴正向看去，C 是依反时针方向进行的。
所截下的那部分，取上侧，即取平
由斯托克斯公式得
10．设
【答案】
11．计算曲面积分围的立体的表面的外侧。
【答案】设
分别为S 的上、下底面和圆柱侧面，则
记
在xOy 平面上的投影区域为
则 其中S 是曲面
及两个平面
所
为由方程
所确定的可微隐函数，求gradz.
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