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一、证明题

1． 设为区间，上严格凸函数. 证明：若数知，对任意

总有

因此，对于任意的与是的极小值点矛盾. 故

2． 设

符号一致. 又因为

只要充分接近0, 总有是在I 上的惟一极小值点。 的最大零点为所以

证明因此

3． 设有四个不同

的零点不同的零点；函数.

应用罗尔定理可知函数

’必有三个不同的零点；函数

有两个

有一个零点. 然而已知函数f 无零点，这便产生矛盾. 这矛盾说明反证法

为实数. 求证：方程

的根不超过三个.

那么函数

.

上恒正或恒负. 即

的

但是

这

为f 的极小值点，则为，在Ⅰ上惟一的极小值点。

不妨设

由是I 上的严格凸函

【答案】反证法. 若有异于的另一极小值点

【答案】因为是f (x ) 的最大零点，所以f (x ) 在

【答案】用反证法.

假设方程有四个不同的根

假设不成立，即方程至多只有三个根.

二、解答题

4． 试在数轴上表示出下列不等式的解:

（1）（3）

【答案】（1）由原不等式得

不等式组①的解是X>1,

不等式组②的解是

或

在数轴上表示如图1所示

.

图1

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（2）

.

故的解集是

（2）

原不等式同解于不等式如图2所示

.

由此得原不等式的解为在数轴上表示

图2

（3）原不等式的解x 首先必须满足不等式组

解得即

当

5． 设

时，

求

不可能成立，故原不等式无解.

原不等式两边平方得

【答案】用泰勒公式，

两边积分可得

由此可得f （X ）的泰勒展开式

于是，有

若令

则上式可改写为

综上，有

其中I 为自然数.

6． 已知

【答案】因为

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其中

则

在点x=a的某邻域内连续，求

7． 已知

【答案】首先证明

令

代入①的左端得

故①成立. 又因为

根据迫敛性可知，

所以函数

在原点

处连续.

8． 设S 为非空数集. 试对下列概念给出定义：

（1）S 无上界； （2）S 无界.

【答案】（1）设S 为非空数集，若对任意的正数M ，总存在上界.

（2）设S 为非空数集，若对任意正数M , 总存在

9． 求曲面

使得

则称数集S 无界. 使得

则称数集S 无

试讨论函数，

在原点(0, 0) 处是否连续？

与平面y=4的交线在x=2处的切线与Ox 轴的交角.

则根据导数的几何意义，切线对ox 轴的斜率

为所以切线与Ox 轴的交角为

【答案】设该角

为

10．边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成α（0<α<90°）角斜沉于液体中. 设a>b，长边平行于液面，上沿位于深h 处，液体的比重为v. 试求薄板每侧所受的静压力。

【答案】如图所示，静压力的微元

则

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