2017年曲阜师范大学管理学院864数学分析B考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1．
设悬链方程为
证明：(1)
【答案】(1) 由弧长公式得
由定积分的几何意义可得
(2) 旋转体体积为
侧面积为
所以
(3) x=t处的截面面积为
所以
2． 证明：为Ⅰ
上凸函数的充要条件是对任何
凸函数。
【答案】充分性，设
为
上的凸函数，则对任何的
及
故
为Ⅰ上的凸函数。
为I 上的凸函数，则对任何的
及
有
必要性，设
有
它在
上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为：(2)
(3)
该曲边梯形绕x 轴一周所得旋转体体积、侧面积和x=t处的截面面积分别记为
函数为上的
故
3． 设函数
为上的凸函数。 定义在
上，证明它在
则
其中c 为常数，又
上满足下述方程：
【答案】令
所以所以
二、解答题
4． 求曲线
绕直线
旋转所成的曲面的表面积.
，则曲面的表面积为
【答案】这是星形线，充分考虑到对称性
5． 计算
【答案】解法一：这是一个第二类曲面积分，不妨设其方向为外法线方向.
设经演算得到
在原点附近补一个小椭球在所以
使其完全包含在
内.
与V 之间的区域，被积函数有连续偏导数，满足高斯公式，由
作代换
I
进行计算后得到
解法二：作
使其完全包含在
内
6． 设
【答案】对当
取
讨论
即
时，有
，
于是，由，
数存在； 记
当
时，因
在原点处连续；
及
知
在原点处的两个偏导
在原点处的连续性、偏导数存在性及可微性.
属于(0, 0) 的艰域
相关内容
相关标签