2018年中国矿业大学(徐州)理学院835概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设由
明:样本相关系数r 满足如下关系
上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为|
即
，将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有
可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证
证明完成.
2．
设
为一事件域，若
，故其对立事件
.
试证: （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算
（2）构造一个事件序列由此得（3）因为（4）因为（5）因为.
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【答案】（1）因为为一事件域，所以
，其中
. 所以，所以，所以
，由，由
.
，由（3）（有限交）得，
3． 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布. 证明:在区间上服从均匀分布.
代入函数
【答案】随机变量X 服从参数为2的指数分布, 则X 的概率密度为求得到所以当当
的分布, 关键是确定分段点. 将X 的概率密度函数的分段点同时利用函数
的图形知它的最大值是
是不可能事件, 所以
是Y 的分布函数的分段点. 时, 时, 则
当
时,
下面求Y 的分布函数
综上所述, 得到Y 的分布函数为上式恰好是区间即证明了
4． 设X 为非负随机变量，a>0.
若
【答案】因为当a>0时
，
上服从均匀分布的随机变量的分布函数, 在区间（0, 1）上服从均匀分布.
存在，证明:对任意的x>0,
有
是非负不减函数，所以由上题即可得结论.
5． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明:
【答案】（1）由于
存在，所以该级数绝对收敛，从而有
（2）
6． 设总体为如下离散型分布
表
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是来自该总体的样本.
（1）证明次序统计量（2）以表示【答案】（1）给定但必有
中等于
是充分统计量； 的个数，证明的取值
于是，对任一组并
设满足
是充分统计量.
中有个中有个
可以为0,
有
该条件分布不依赖于未知参数，因而次序统计量（2）反之，给出这只要通过令
即可实现（这里默认
7． 设为
【答案】由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本
均
，
此可作为枢轴量，对给定
利用标准正态分布的
分位数
括号里的事件等价于
. 因而得
其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式
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是充分统计量.
就可算得
与是一一对应的，因为给出
也可构造出
，
），因此，是充分统计量.
的近似
置信区间
是来自泊松分布的样本，证明:当样本量n 较大时，
，因而
可得