2018年湖北工业大学生物工程与食品学院314数学(农)之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 有20个灯泡，设每个灯泡的寿命服从指数分布，其平均寿命为25天. 每次用一个灯泡，当使用的灯泡坏了以后立即换上一个新的，求这些灯泡总共可使用450天以上的概率.
【答案】记且
为第个灯泡的寿命（单位:天），
则
由林德伯格-莱维中心极限定理，所求概率为
2． 设
是独立同分布的随机变量，其共同的密度函数为
试求【答案】先求所以当这是贝塔分布 3． 若
试证
为从分布族
为充分统计量.
中抽取的简单样本，
的密度函数、数学期望和方差.
的分布函数. 当时，Y 的密度函数为
由此得
时，
【答案】样本X 的联合密度函数为
由因子分解定理知，
为充分统计量.
4． 从一个装有m 个白球、n 个黑球的袋中进行有返回地摸球，直到摸到白球时停止. 试求取出黑球数的期望.
【答案】令X 为取到白球时已取出的黑球数，则Y =X+1服从几何分布以
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，所
，由此得.
5． 设X 是只取自然数为值的离散随机变量. 若X 的分布具有元记忆性，即对任意自然数n 与m , 都有
【答案】由无记忆性知
或
若把n 换成n —1仍有
上两式相减可得
若取n=m=l, 并设若取n=2，m=l，可得
若令
，则用数学归纳法可推得
这表明X 的分布就是几何分布.
6． 设
独立同分布，
服从以下分布，求相应的充分统计量:
已知:
未知:
分布:
，则有
，则X 的分布一定是几何分布.
（1）负二项分布（2）离散均匀分布；（3）对数正态分布:（4）瑞利
【答案】（1）样本的联合密度函数为:
其中
由因子分解定理知
是充分统计量.
（2）样本的联合密度函数为
由因子分解定理知
是充分统计量.
（3）样本的联合密度函数为
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由因子分解定理知
（4）样本的联合密度函数为
由因子分解定理知
7． 设随机变量X 的密度函数为，事件
出现的次数，试求
，其中，
8． 设随机变量X 与Y 的概率分布分别为
表
1
表
2
且（2）求
.
的概率分布；
, 所以
.
的概率分布；
.
，所以
’以Y 表示对X 的三次独立重复观察中
是充分统计量.
是充分统计量.
【答案】因为
（1）求二维随机变量（3）求X 与Y 的相关系数【答案】 （1）因为即
利用边缘概率和联合概率的关系得到
;
即
的概率分布为
表3
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