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一、计算题

1． 设

记（1）

（2）

知,

且

的方差与

的协方差相互独立,

从而,

为来自总体

的简单随机样本

为来自总体

求:

的简单随机样本,

为样本均值,

【答案】 （1）由题设

所以

（2）由协方差的定义:所以有

又因

独立, 所以

故

同理有

（

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因为

,

. 所以

2． 设分布函数列敛于分布函数

有再令则有

【答案】对任意的故可取它的k 个分点:

弱收敛于连续的分布函数

取M 充分大，使有当

在闭区间

试证:时，有

在

当

上一致收时，

对上述取定的M , 因为

上一致连续， 使有

（1）

这时存在N ，使得当对任意的当

时，有

（3）

由（1）, （3）式可得

即有

结论得证.

3． 将n 根绳子的2n 个头任意两两相接，求恰好结成n 个圈的概率.

【答案】设事件

”，为“恰好结成n 个圈记

，又记事件B 为“第1根绳子的两个

容易看出

所以得递推公式

由此得

4． 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2, 方差分别为1和4, 而它们的相关系数为根据切比雪夫不等式，估计

【答案】因为

所以

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时，有

（2）

必存在某个i ，使得

由（2）式知，

头相接成圈”，则由全概率公式得

试

的上限.

5． 设是来自正态总体的一个样本，对考虑如下三个估计

（1）哪一个是的无偏估计？

，故有

，从而

（2）哪一个均方误差最小？ 【答案】（1）由于

这说明仅有是的无偏估计，而与是的有偏估计.

（2）我们知道，估计的均方误差是估计的方差加上偏差的平方，即

而

，这给出

于是

显然

，所以

的均方误差最小.

6． 在入户推销上有五种方法，某大公司想比较这五种方法有无显著的效果差异，设计了一项实验:从应聘的且无推销经验的人员中随机挑选一部分人，将他们随机地分为五个组，每一组用一种推销方法进行培训，培训相同时问后观察他们在一个月内的推销额，数据如下:

表

1

（1）假定数据满足进行方差分析的假定，对数据进行分析，在均月推销额上有无显著差异？

下，这五种方法在平

（2）哪种推销方法的效果最好？试对该种方法一个月的平均推销额求置信水平为0.95的置信区间.

【答案】 （1）方便起见，将计算结果列入下表:

表2

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