2018年厦门大学财政系396经济类联考综合能力[专业硕士]之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
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2． 设三阶方阵A
、B
满足
式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵
.
若
求行列
【答案】由矩阵知则
.
可
逆. 又故
即
所以
即
而
故
3．
设线性方程
m
【答案】对线性方程组的增广矩阵
试就讨论方程组的解的悄况，
备解时求出其解.
作初等行变换
，如下
（1）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解，解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解.
故原方程组的通解为
（3）当
时
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（4
）当
4．
设
即时此时方程组无解.
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
为任意常数.
二、计算题
5．
设
【答案】
是一组n 维向量，已知n
维单位坐标向量线性无关.
可由
线性无关
6． 设3阶对称阵A
的特征值为
求A.
【答案】因A 对称，
必有正交阵
使
能由它们线性表示，
证明
线性表示
对应的特征向量依次为
显然可
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