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一、解答题

1． 设B

是

（I

）证明（II

）证明（III

）若【答案】⑴

（II ）

（Ⅲ）设

则由

知

即

或1. 又存在可逆矩阵p ,

矩阵

且A 可对角化，

求行列式

逆

其中E 是n 阶单位矩阵.

使或1.

2．

设

为三维单位列向量，并且

记

证明：

（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A

相似于矩阵

则

故Ax=0有非零解.

（Ⅱ）由（Ⅰ

）知向量.

故A

有零特征值

的非零解即为

对应的特征

【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且

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又且

另外，

由

故可知

为A 的特征值

，为4的2重特征值，

为对应的特征向量

.

为A 的

3个

为4的单重特征值.

为两个正交的非零向量，从而线性无关. 故

线性无关的特征向量，

记

则

即A

相似于矩阵

3

． 设n

维列向

量

【答案】

记

线性

无关，其中

S 是大于2的偶数. 若

矩

阵

试求非齐次线性方程组

的通解

.

方程组①化为：

整理得，由

线性无关，得

显然①与②同解.

下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）

从而

组的基础解系为数.

4． 设二次型

（Ⅰ）用正交变换化二次型

有无穷多解. 易知特解为

从而②的通解，即①的通解为

对应齐次方程A 为任意常

矩阵A 满足AB=0, 其中

为标准形，并写出所用正交变换；

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（Ⅱ

）求【答案】

（Ⅰ）由

知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.

记

值（至少是二重）

，

根据

值是0, 0, 6.

设

有

对

正交化，

令的特征向量为

有

则是

的线性无关的特征向量.

由此可知

，是矩阵A 的特征

故知矩阵A

有特征值因此，矩阵A 的特征

那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，

则

解出

再对，单位化，得

那么经坐标变换

即

二次型化为标准形（Ⅱ）因为

又

有

所以由

进而

得

于是

二、计算题

5． 设3阶对称阵A

的特征值为与特征值

A.

【答案】方法一：（1）求矩阵A

的对应于特征值

对应的特征向量为的两个线性无关的特征向量

求