2018年北京市培养单位心理研究所803概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自泊松分布
的样本，证明
在给定
是充分统计量. 后，对任意的
有
【答案】由泊松分布性质知
该条件分布与无关，因而
2． 若事件A 与B 互不相容，且
是充分统计量. ，证明:
【答案】
3． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立， 则
【答案】记这正是二项分布
4． 证明:
（1）（2）
【答案】（1）由
.
，移项即得结论.
因为
的特征函数，由唯一性定理知
且X 与Y
所以由X 与Y 的独立性得
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
证明
【答案】
由
得
6． 任意两事件之并
可表示为两个互不相容事件之并，譬如
【答案】⑴
（2）利用加法公式可得
7． 对任意的事件A , B ，C , 证明:
（1）（2）【答案】⑴
5． 记
（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明
.
（2）因为
所以
8． 设
证明:
为独立的随机变量序列，且
服从大数定律.
所以由
由马尔可夫大数定律知
9． 设
分别是
服从大数定律.
的独立性可得
【答案】因为
9
的UMVUE ，
是的UMVUE ，故
于是
►
，且对任意一个
，
，分别是
证明:对任意的（非零）常数【答案】由于满足
，由判断准则知
因此
10．设
证明:
是的UMVUE.
为独立随机变量序列，且
服从大数定律.
相互独立，且
所以
【答案】因为
由此可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
二、计算题
11．设
【答案】由
服从均匀分布
可知
试证
及
都是的无偏估计量，哪个更有效？
的密度函数分别为
从而
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