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一、证明题

1． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立，则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布

2． 令【答案】

3． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:

【答案】由于其中

代回原式即得证.

4． 设随机向量

证明:【答案】由

满足

知

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且X

的特征函数，由唯一性定理知

的随机变量，试证明:

表示服从二项分布

存在，所以级数绝对收敛，从而有

所以

5． 证明公式

【答案】为证明此公式，可以对积分部分施行分部积分法，更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导，证明其导函数相等.

注意到将等式右边的求导可给出

而对

对

其和前后项之间正好相互抵消，最后仅留下一项，也为这就证明了两者导函数相等，并注意到两者在

6． 设随机变量

【答案】若随机变量而

这就证明了

7． 设

令证明:且

服从

则

相互独立，

相互独立，服从

证明

则

也服从

从而

时都为0, 等式得证.

【答案】令

再令则

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所以变换的雅可比行列式为:

计算该行列式，可得

因为，

把雅可比行列式代入上式可得

由此可知

8． 设X 为非负随机变量，a>0.

若

【答案】因为当a>0时

，

存在，证明:对任意的x>0,

有

是非负不减函数，所以由上题即可得结论.

相互独立，且服从

二、计算题

9． 对给定的n 组数据可以建立如下回归方程

反之，若我们关心的是x 如何依赖y 的取值而变动，则可以建立另一个回归方程

试问这两条直线在直角坐标系中是否重合？为什么？若不重合，它们有元交点？若有，拭给出交点的坐标.

【答案】一般不重合. 因为回归方程

可化为

而

化为

当且仅当即n

组数据

时两条直线重合. 我们知道，

表示相关系数的绝对值为1，

若我们关心的是y 如何依赖x 的取值而变动，则

在一条直线上，这在实际中极其罕见，所以说“一般不重

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