2017年郑州大学联合培养单位河南工程学院915高等代数考研导师圈点必考题汇编
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一、分析计算题
1． 若实4维向量空间V 的子空间
试求
【答案】解法
是如下齐次线性方程组的解空间
解之得一个基础解系设
则
所以
其一个基础解系为：
所以
为其一组基.
解法2考虑到所求正交补空问即为系数矩阵A 的行向量生成的子空间. 由
可知
的一组基为
的一组基.
2． m ，p ，q 适合什么条件时，有
（1）（2）
【答案】（1）因
为
的充要条件是
（2）
的充要条件是有
使
比较次数及首项系数，常数项，可设
代入，展开，得
由此得
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被
除所得的余式
为
即
所
以
的充要条件是或
3． 设根，则
均为有理数，且也是f （x ）的k 重根.
为无理数，证明：若有理系数多项式f （x ）的k 重
【答案】由于显然有理数域Q 上多项式
在Q 上不可约（故又因为
从而
是无理数且
的根，但不是的根，
但却不是
的根. 由于这些都是Q 上多项式，于是由上面的证明知，的根（否则亦由上证明知，
将是
，因此，的根）
也是它们
是f
，且又与f （x ）不互素（因为二者都有根）
）
是f （x ）的k 重根，故它也是
（x ）的k 重根.
4． 求除/（x ）的商与佘式 证明:设
并设f （x ）被并记余数为r ，则
除所得的商式为
【答案】由假设因此得
由此即得所证. 上面的公式把用法可用下面算 式来实现：
及c 来表示这就是综合除法的原理. 应用上述等式可以把
除f （x ）所得的商及余数用较少的步骤及空间计算出来，并且把除法中的减法变成了加法. 综合除
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因为c 是/（X ）的根的充要条件是因此应用综合除法还可以很快地判断c 是否是/
（X ）的根.
5． 用向量运算证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点
.
图
【答案】设P 是PF 垂直于BC.
如图所示，已知
故BC 垂直于FP.
6． 设是数域P 上线性空间V 的线性变换，且
（1）（2）【答案】（1）所以故
则
于是
从而
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两条边AB 及AC 的两条垂直平分线的交点.F 是BC 的中点. 即要证明
证明：
都是的不变子空间，则
反之，因为
则
（3）如果是V 的线性变换，且
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