2017年郑州大学联合培养单位许昌学院915高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 确定常数a , 使向量组
可由向量组由向量组
【答案】
记
从而
所以a=l或a=-2.
当a=l时，能由
当
时，由于
考虑线性方程组
因为秩
秩
所以方程组
无解，即
不能
故
可由
线性表示. 但
不
线性表示，所以a=l符合题意.
线性表示.
因为
不能由
线性表示，
故秩
线性表示，但向量组
不能
由线性表示，与题设矛盾. 因此a=l.
2． 证明：①对称方阵只能与对称方阵合同；
②单位方阵E 与-E 在复数域上合同，但在实数域上不合同； ③对角线上元素为
的实对角方阵A 与E 合同的充要条件是，每个
即B 也是对称方阵.
②令C=iE，则C 是复满秩方阵且显然但不可能存在实满秩方阵P 使-1，
但
的相应元素却为
，矛盾. 故E 与-E 在实数域上不合同. 为P 的第一列元素）
③设在实数域上A 与E 合同，即存在实满秩方阵
从而必有，.. 反之，设每个
则令C 为对角线上元素为
即A 与E 在实数域上合同.
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于是
【答案】①设A 为对称方阵且与方阵B 合同，即存在满秩方阵C 使
即在复数域上E 与-E 合同.
因为一E 的第一行第一列交叉位置上的元素为
使
.
的实对角方阵，显然有
3． 设A ，B 均为n 阶方阵，求证
【答案】（1）当结论成立. （2）当
时，考虑矩阵
使
那么由上面（1）的结论有
令
由于有无穷多个使①式成立，从而有无穷多个使③式成立，但而③式对一切都成立.
特别令
这时有
4． 证明：如果多项式f （x ）对任何数a , b都有数.
【答案】证法I 若设因为若
，则对
由
則结论显然. 故下设. 且
则由
得
比较两端因此证法II
若
得：
即
5． 计算行列式
也是
_
的系数，得
得证.
的次
数
则必
有
因为若不然，则
由于是又得
矛盾. 这样，f （x ）在复数域中必有根
都是矛盾.
知，
下再证n=l.
其中k 为一常
则由②式有
都是多项式，从
由于A 和B 都最多只有有限个
特征值，
因为存在无穷多个
时，这时
由公式.
可得
的根. 如此下去，
可知
的根. 这显然不可能. 故必n=l
即
【答案】将第一行的1改写成按第一行拆分得
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6． 求n 阶行列式的值
【答案】按第1
行展开得
当n=l时，
当n=2时，
即
作特征方程
于是
由
解得
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