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一、解答题

1． 已知A 是3阶矩阵，

（Ⅰ）证明

：（Ⅱ

）设

【答案】

（Ⅰ）由同特征值的特征向量，

故

又令即由

线性无关，得齐次线性方程组

因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,

所以必有

线性无关；

（Ⅱ）因为

,

所以

即

线性无关.

求

是3维非零列向量，若线性无关；

且

非零可知，

是A 的个

令

故

2．

已知

其中E

是四阶单位矩阵是四阶矩阵A 的转置矩阵

，

求矩阵A

【答案】

对作恒等变形，

有

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即

由

故矩阵可逆.

则有

以下对矩阵做初等变换求逆，

所以有

3． 已知A

是

矩阵，齐次方程组

的基础解系是

与

有非零公共解，求a 的值并求公共解.

知

的解.

对

贝腕阵

又知齐

次方程组Bx=0

的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

（Ⅱ

）如果齐次线性方程组

【答案】（1

）记

A

的行向量）是齐次线性方程组

由

的列向量（即矩阵

作初等行变换，有

得到

所以矩阵

的基础解系为

（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0

的非零公共解为由

线性表出，

故可设

于是

则既可由

线性表出，也可

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对作初等行变换，有

不全为

其中t 为任意常数.

矩阵A 满足AB=0, 其

中

当a=0时，

解出

因此，Ax=0与Bx=0

的公共解为

4． 设二次

型

（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ

）求【答案】

（Ⅰ）由

为标准形，并写出所用正交变换；

知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.

记

值（至少是二重）

，

根据

值是0, 0, 6.

设

有

对

正交化，

令的特征向量为

有

则是

的线性无关的特征向量.

由此可知

，是矩阵A 的特征

故知矩阵A

有特征值因此，矩阵A 的特征

那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，

则

解出

再对，单位化，得

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