2018年浙江农林大学风景园林与建筑学院、旅游与健康学院314数学(农)之工程数学-线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
2．
已知
，求
故所求的方程组可取为
解得此方程组
将
代入得，
构
【答案】
令
则且有
1
所以
3．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，故A
有零特征值
则
故Ax=0有非零解.
的非零解即为
对应的特征
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
4． 已知A 是3阶矩阵
，
是3维线性无关列向量，且
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
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是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是全为0.
（Ⅲ）由
知
故
芄中
不
二、计算题
5
． 设n
阶矩阵A 与
S 阶矩阵B 都可逆，求
【答案】
（1）因A 和B 均可逆，作分块阵
由分块矩阵乘法规则，
于是⑵求
可逆
，且
的逆阵
，就是求n+s阶方阵x ，
使
为此，
根据原矩阵的分块情况，对
x 作一样的分块，其中
把上式代入（1）式得到
比较上式两端两个矩阵，有
于是得
是未知矩阵（为明确起见，它们依次是
. 矩阵）