2018年浙江大学医学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
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2018年浙江大学医学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（一）.... 2 2018年浙江大学医学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（二）.... 8 2018年浙江大学医学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（三）.. 15 2018年浙江大学医学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（四）.. 23 2018年浙江大学医学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（五）.. 30
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一、解答题
1．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令
2． 设二次
型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ
）求【答案】
（Ⅰ）由
矩阵A 满足AB=0, 其
中
为标准形，并写出所用正交变换；
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
记
值（至少是二重）
，
根据
值是0, 0, 6.
设
有
的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知
，是矩阵A 的特征
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
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解出
对正交化，
令则
再对，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
又
有
所以由
进而
得
于是
3． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
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从而组的基础解系为数. 4． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
是3维非零列向量，若线性无关； 求
且
线性无关.
令
非零可知，是A 的个
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
故
二、计算题
5．
设
（1
）证明
是A 的n-1重特征值；
是A 的n-1重特征值. 注意到A 为对称阵，故A 与对
角阵
=1, 从而R 就是A 的全部特征值. 显然R （A ）（A ）=1,
是A 的n-1重特征值.
的对角元之和为
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（2）求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 【答案】首先
证明
相似，
其中
于是只有一个非零对角元，
即
其次，求A 的非零特征值，
因
又由特征值性质：A 的n 个特征