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一、计算题

1． 计算积分

【答案】令.

2． 有一个无盖的圆柱形容器, 当给定体积为V 时, 要使容器的表面积为最小, 间底的半径与容器高的比例应该怎样?

【答案】设底的半径为r , 则

, 由

, 容器的高

, 又因为

, 故

. , 容器的表面积

于是故

得

,

,

是S （r ）的极小值点, 此时

即当底的半径与容器的高的比例为1: 1时, 容器的表面积为最小.

3． 作极坐标变换, 将二重积分

化为定积分, 其中【答案】如图所示:

•

图

令

, 则

4． 在下列积分中引入新变量u , v 后, 试将它化为累次积分:

（1）（2）（3）

【答案】（1）由

若其中其中

得

, , 若

则

,

若

.

D 与如图1, 图

2.

图

1

h

图2

于是

（2）由

得

,

（3）由于是

得

, 于是

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5． 利用微分求近似值

:

（1）（2）（3）

（4）则

即

（2

）令

由（3）令所以

（4）

所以

6． 求极限

【答案】记

, 令

.

.

则

即

而

,

故

.

,

, 则

,

,

. ,

,

则

得

, 则

.

,

,

,

,

【答案】（1）令

二、证明题