2018年燕山大学理学院701数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明公式:
,
这里续函数.
【答案】设S 为球面
, 则有
考虑新坐标系O-uvw , 它与原坐标系O-xyz 共原点, 且O-vw 平面为O-xyz 坐标系的平面, mx+ny+pz=0, Ou 轴过原点且垂直于该平面, 于是有
在新坐标系O-uvw 中
,
.
, .
,
【答案】由条件
知
将以上各式乘2后相加得
因为级数同理
于是
, 故
3． 试用一致连续的定义证明:若f , g都在区间I 上一致连续, 则f+g也在I 上一致连续.
【答案】因为f , g在区间I 上一致连续, 所以对任给的
第 2 页，共 39 页
. , , f （t ）在时为连
这里的S 仍记为中心在原点的单位球面, 将S 表示为:
则dS=dudw, 从而
2． 设{an ）为实数列, 它满足不等式
, 又级数
收敛. 证明:
收敛, 所以. , 由迫敛性知'
, 存在,
使得当当有
时, 有时,
有
.
取
；
,
则当
时,
故f+g在I 上一致连续.
4． 若f （x ）在R 上存在三阶连续导数, 且
, 有
*
证明:f （x ）至多是二次多项式. 【答案】只需证:将
在X 处作泰勒展开
将上两式代入所给的等式中, 比较两端可得
当
时, 有
由三阶导数的连续性, 有
5． 若函数u=u （x , y ）满足拉普拉斯方程. 满足这个方程.
【答案】设而由
及
注意到
, 则有
即v 也满足拉普拉斯方程.
第 3 页，共 39 页
, 证明:函数.
也
‟„, 则
二、解答题
6． 讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D 上的一致收敛性:
（l
）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）设
, 则
故
时,
所以对任意
取
. 当n>N时, 对任意的.
由柯西准则知, 原级数在[﹣1, 1]上一致收敛.
或因为
数在
在[﹣1, 1]上一致收敛. （2）设
上不一致收敛. （3）设从而部分和数列
所以
故原级数在（4）设设
内不一致收敛. , 故只需考虑级数
则
第 4 页，共 39 页
. 及, 总有
而级数
取
则
则
且
收敛, 从而级
, 所以
在上的一致收敛性.
且对任意
均单调
相关内容
相关标签