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2017年杭州电子科技大学经济学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟题

  摘要

一、证明题

1. 设分别是UMVUE.

【答案】由于

满足

的UMVUE ,证明:对任意的(非零)常数a , b , 分别是

的UMVUE , 故

且对任意一个于是

因此

2. 设

的UMVUE. 是取自二维正态分布

的一个二维样本, 记

由判断准则知

试求统计量【答案】容易看出

的分布.

仍服从正态分布. 且

所以另外,

类似于一维正态变量场合, 可证与相互独立。且

于是根据t 变量的构造可知

这就是我们要求的分布.

3. 设随机向量(

证明:

两两不相关的充要条件为

同理可得

由此得必要性:若由此得

4. 试用特征函数的方法证明/分布的可加性:若随机变量

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是 5. 设

是来自泊松分布

的样本, 证明

是充分统计量.

分布

的特征函数, 由唯一性定理知

, 且X 与Y 独立,

两两不相关.

两两不相关, 则由上面的推导可知

【答案】充分性:若

)间的相关系数分别为

【答案】由泊松分布性质知, 在给定T=t后, 对任意的

该条件分布与无关, 因而

是充分统计量.

6. 如果

【答案】对任意的

试证:首先考虑

的分布函数

因此

其中

为X 的分布函数, 类似有

因此

由上述两个关系式, 再考虑到的任意性,

即可得这就意味着

7. 设分布函数列敛于分布函数F (x ).

【答案】

对任意的点

:

则有

(1)

这时存在N , 使得当n>N时, 有

对任意的当

时, 有

由(1), (3)式可得

即有

8. 设

, 结论得证.

相互独立, 服从

证明:

证毕.

弱收敛于连续的分布函数F (x ), 试证:

取M 充分大,

使有当

使有

时,

再令在

上一致收

时,

,

对上述取定的M , 因为F (x )在闭区间[-M, M]上一致连续, 故可取它的k 个分

必存在某个i , 使得由(2)式知,

相互独立, 且

服从