2017年杭州电子科技大学经济学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】由
服从均匀分布
可知
试证
及
都是的无偏估计量，哪个更有效？
的密度函数分别为
从而
故，由又可算得
从而
故
2． 设
即
更有效.
知两者均为的无偏估计.
事实上，这里x （3）是充分统计量，这个结果与充分性原则是一致的.
为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为
（1）证明：若c 已知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若已知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】（1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即都已知，常记为
则在给出样本
后的后验分布密度函数为
其中
和
其中
因此，
所以当c 已知时帕雷托分布为的共扼先
验分布.
（2
）当已知时，不妨设c
服从伽玛分布
都已知. 则给出样本
即
其中
后c 的后验分布密度函数
这说明
3． 设
【答案】若
, 证明:
证明完成.
服从贝塔分布, 并指出其参数.
, 则X 的密度函数为
由
在
上是严格单调增函数, 其反函数
为
Z 的密度函数为
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
4． 设
, 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.
是来自两参数指数分布
的样本, 证明（）是充分统计量.
【答案】由已知, 样本联合密度函数为
令
, 由因子分解定理,
是
的充分统计量•
5． 设随机变量
【答案】若随机变量而
证明
则
也服从
从而
这就证明了
6． 设总体二阶矩存在,
是样本, 证明
则
与
的相关系数为
【答案】不妨设总体的方差为
由
由于,
因而
所以
7． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.
【答案】设总体玛分布
，其密度函数为
则的后验分布为
，其中已知，
为其样本，取
的先验分布为倒伽