2018年南京信息工程大学数学与统计学院702数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设（f x ）
满足
则f
在在
上恒等于0.
上连续. 由最小最大值定理知, f （x ）
现再
由
为最
上的最大值为M , 最小值为m , 并且
由费马定理
知
为f （x ）的一个严格极小值. 这与
, 其中g （x ）为任一函数. 证明:若
,
【答案】反证法. 因f （x ）存在二阶导数, 故f （x ）在
上存在最大值和最小值. 设f （x ）在,
因
得
大值矛盾, 故M=0.同理可证m=0.
所以在
2． 按定义证明:
（1）（2）
（3）
（4）（5）
【答案】（1）由于
,
故
证M=m=0.假设
. 于
是
于是上
故对任意的（2）不妨设
只要取. 则
对任意的
只要取
则当
时, 有
（3）
由于
对任意的
只要取
则当
时, 有
, 故
.
, 则当
时,
这就证明了:
（4）由于对于任意的只要取则当
时
（5）因为令
由得对于任给取则当
时, 有
故
3． 设
【答案】
, 证明
4． （1）证明:若向量
, 必存在
是凸开集, f :是D 上的可微函数, 则对任意两点
, 满足
, 以及每一常. （2）利用（1）
结果导出微分中值不等式
.
, 因为f 在D 上可微, 所以F （x ）在
使
又（2）由
故有
, 则有
即
5． 证明棣莫弗（deMoiwe ）公式
【答案】设
代入欧拉公式得
【答案】（1）考虑实值多元函数D 上也可微, 由于
有
, 则F :
是凸开集, 故根据多元函数的微分中值定理, 对
6． 设f 为
【答案】设中值定理,
存在
, 使得
上的单调递减函数, 证明:对任何正整数n 恒有
, 贝岫题设知, g （x ）在
上为非负、递减函数. 由积分第二
二、解答题
7． 求下列不定积分:
（1）（3）（5）（7）（9）（11
）（13）（15）（17）【答案】 （1）
（2）
（3）（4）
（5）（6）
（2） （4） （6） （8） （10） （12） （14） （16）（18）
.
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