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一、计算题

1． 试给出函数f 的例子, 使性有矛盾吗?

【答案】令

在实数集R 上

恒成立. 但

, 这与极限的局部保

恒成立, 而在某一点

处有

这同极限的局部保号

. 号性不矛盾. 因为函数极限的局部保号性定理的题设要求

2． 据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？

【答案】设（1）若

为f （x ）在区间上的第一类间断点, 则分两种情况讨论.

内由拉格朗日中值定理有

这与

为可去间断点是矛盾的, 故F （x ）不存在.

为跳跃间断点.

成立. 而

这与 3． 计算

【答案】设

, 其中为曲线

, 因为

所以积分与路径无关.

取积分路径为从（1, 1, 0）到（1, 1, 1）的直线段, 则

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为可去间断点.

, 在和x 之间. 而

反证法:若f （x ）在区间上有原函数F （X ）, 则在

（2）若

反证法:若f （x ）在区间上有原函数F （X ）, 则亦有

为跳跃间断点矛盾, 故原函数仍不存在.

从（1, 1, 0）到（1, 1, 1）的部分.

4． 求曲线

【答案】

上曲率最大的点.

令 5． 设

,

得

时取最大值. 故

当在点求则

时

,

当

处曲率最大.

时

, , 所以K （:r

）在

【答案】令:由

两边求导有

6． 求曲线

【答案】曲线质量为

I

的质量, 设其线密度为

.

二、证明题

7． 设函数f 在

【答案】由设是区间由性知, 对所有的

8． 设正项级数

【答案】因为反之未必成立. 如

9． 证明下列命题:

（1）若f （x ）在[a, b]上连续增,

有

收敛，证明收敛，故

得,

上满足方程

知, 对任给的中的任一数, 由于

, 且

, 存在正数M , 使得当x>M时,

, 所以存在正整数N , 使得,

因为

, 所以

, 再由的任意性知, 亦收敛；试问反之是否成立？

所以收敛，而

在比较原则可知级数发散.

收敛.

, 由的任意

.

, 证明:

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则F （x ）为[a, b]上的增函数. （2）若f （x ）在

上连续,

且

, 则

为

？

【答案】（1）由f

（x ）在[a, b]上连续及洛必达法则,

得

因此F （x ）在x=a点右连续, 从而F （x ）在[a, b]上连续,

又当

时,

根据积分中值定理, 存在由f （x ）在[a, b]上单调增

,

得故F （x ）为

[a, b]上的增函数. （2）由题设,

可得

.

因此

在

内可微, 且

由

从而

故_

为

内的严格增函数. 因

所以补充在

, 使函数上严格增.

有n+1个相异的实根, 则方程

, 并且

至少有一个

成为

上的连续函数, 再由

, 可得

知,

函数（x-t ）f

（t

）在

上非负

, 且不恒为零, 所以

,

, 使

从而当

. 所以

时,

上的严格增函数, 如果要使

在

上为严格增, 试问应补充定义

10．证明:设f 为n 阶可导函数, 若方程实根.

【答案】设方程

的n+1个相异的实根为

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