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一、证明题

1． 设函数

和

在

内可积, 证明:对

内任意分割

有

【答案】由积分的定义知

且

由于

可积, 所以

所以

所以原命题成立.

2． 设

【答案】因为于是,

证明:

所以

（当

或

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对）, 即

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即

3． 设f 为

上的递增函数. 证明

存在, 且

【答案】取

, 即f （

x ）在于是对任给的并当

存在

时,

有

因为f 为

上有上界. 由确界原理知

使得

在

令即

4． 证明

:当x>0时有不等式

【答案】令且

故

5． 试用定义证明:

（1

）数列（2）数列

敛于极限a.

（1）取

, 则

, 当

不以1为极限.

因此, 数列, 发散.

是无界的. 设a 是任意一个实数, 取

之外, 否则

有界. 故数列

, 则不

中有无穷多个项落在

时,

于是,

数列

中有无穷多个项落在

不以1

为极限;

发散.

若在

之外数列

中的项至多只有有限个, 则称数列

收

, 则

于是

, 使得

因

ft

上递减,

上的增函数, 所以对上有上确界,

令

则

故

有

, 根据积分第二中值定理, 存在

【答案】定义:任给

之外. 由定义知, （2）当n 为偶数时

于是, 数列

收敛于任何一个数, 即数列

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6． 设为开集f , g :均为可微函数, 证明:, 因为f , g 在x 0处可微, 所以

也是可微函数, 而且

.

【答案】对

又由f （x ）在x 0处可微, 知f 在x 0处连续,

从而

所以

在x 0附近有界,

即,

使

这表明,

在x 0处可微, 且

, 由x 0的任意性, 知

在D 上可微, 且

二、解答题

7． 试确定的值, 使下列函数与当

（1）

（2）

【答案】（1）因为

所以, 当（2）因为当

时,

时,

所以, 当（3）

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时为同阶无穷大量: （3）

与当时为同阶无穷大量.

时与当时为同阶无穷大量.