2017年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明：（2）计算
和
的均方误差并进行比较；
的估计中，故
最优.
这说明是则Y 的密
都是θ的无偏估计；
（3）证明：在均方误差意义下，在形如【答案】（1）先计算总体均值为θ的无偏估计. 又总体分布函数为度函数为
于是有
这表明
也是θ的无偏估计.
（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
故有
又
从而
由于（3）对形如
因此在均方误差意义下，的估计有
优于 故
因此当时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，在形如的
估计中，最优.
2． 设为独立随机变量序列, 且
证明:
服从大数定律.
相互独立, 且
【答案】因
故可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
试证：A 与B 独立.
得
相互独立, 且都服从（0, 1）上的均匀分布, 试证明:
和
则
的密度函数为
则
的密度函数为
即（2）因为以
由此得
所以（X , Y ）的联合密度函数为
3． 设0 【答案】由条件 4． 设随机变量 （1）（2） 【答案】（1）设所以当即 时, 时, 与 再由上题即得结论. 是相互独立的标准正态随机变量. 所以 当 , 所以 又因为 所 这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量. 5． 设随机向量（X , Y ）满足 证明:【答案】由所以 6． 在伯努利试验中, 事件A 出现的概率为p , 令 证明:【答案】 服从大数定律. 为同分布随机变量序列, 其共同分布为 表 且 从而 又当 时, 与 又因为 于是有 即马尔可夫条件成立, 故 7 设．在, 且N 与 服从大数定律. 存 独立, 所以 为独立同分布的随机变量序列, 且方差存在. 随机变量N 只取正整数值, 独立. 证明: 【答案】因为
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