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一、证明题

1． 设

是来自

的样本，证明

为

没有无偏估计.

【答案】（反证法）假设

的无偏估计，则

由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在=0处不存在导数. 因此，假不成立，即没有无偏估计.

2． 设总体概率函数是p （x ; 0）, g （θ）的任一估计

令

们只需要考虑基于充分统计量的估计.

【答案】我们将均方误差作如下分解

注意到

这说明

于是

因而

3． 设连续随机变量X 服从柯西分布, 其密度函数如下:

其中参数

（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若

【答案】（1）因为

时, 记Y=X, 试证

的密度函数为

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是其样本，

，证明：

是θ的充分统计量，则对

这说明，在均方误差准则下，人

常记为

且利用此结果证明柯西分布的可加性；

, 但是X 与Y 不独立；

与同分布.

相互独立, 且服从同一柯西分布, 试证:

y 的特征函数为

下证柯西分布的可加性, 设

, 由此得服从参数为

的特征函数

的柯西分布, 其密度函数为

若与相互独立, 则

的柯西分布的特征函数, 所以由唯一性定理知,

的柯西分布.

时有

,

,

服从参

这正是参数为数为

（2）当所以

由于Y=X, 当然X 与Y 不独立 此题说明, 由（3

）设得:

即

4． 设二维随机变量

服从二元正态分布, 其均值向量为零向量, 协方差阵为

是来自该总体的样本, 证明:

二维统计量

该二元正态分布族的充分统计量.

【答案】该二元正态分布的密度函数为

此处,

故

从而

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不能推得X 与Y 独立.

, 由相互独立性

都服从参数为的柯西分布,

则特征函数为

的特征函数为

与具有相同的特征函数, 由唯一性定理知它们具有相同的分布.

是

注意到上式可化解为

于是样本的联合密度函数为

由因子分解定理知, 结论成立.

5． 设按有无特性A 与B 将n 个样品分成四类，组成

表

列联表：

其中n=a+b+c+d，试证明此列联表独立性检验的统计量可以表示成

【答案】检验的假设问题为

与B 是独立的. 统计表示如下：

进而得到

因而检验统计量为

在原假设成立下，我们计算诸参数的最大似然估计，为

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