2017年清华大学工业工程系902运筹学与统计学考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设连续随机变量X 的密度函数为p （X ）, 试证:p （x ）关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与-X 有相同的特征函数,
从而X 与-X 有相同的密度函数, 而-X 的密度函数为关于原点是对称的.
再证必要性, 若由于-X 的特征函数为
2． 设
【答案】因为离散场合,
当
时, g （y ）以概率
. 取
由于在Y 取固定值时,
上式对Y 的任一取值都成立, 即场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）.
3． 设X 为非负连续随机变量，若
（1）（2）
. 在连续场合也有类似解释, 所以在一般
也是常数, 故有
, 则X 与-X 有相同的密度函数, 所以X 与-X 有相同的特征函数, 所以存在, 试证:
是随机变量Y 的函数, 记
故
, 它仍是随机变量. 在
是实的偶函数. 所以得
, 即
先证充分性. 若
是实的偶函数, 则
又因
存在，试证明：
【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利
用
得
（2）因为X 为非负连续随机变量，所以
也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得
令
则
4． （格涅坚科大数定律）设
是随机变量序列, 若记
则服从大数定律的充要条件是
【答案】先证充分性. 任对注意到t>0时. 是增函数, 故当
时, 有
因此有
所以当再证必要性.
设有
因为函数
时, 有
服从大数定律,
即
是增函数及
故则任对
服从大数定律.
存在N ,
当, 得
由于的任意性, 所以
5． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试证明：算
【答案】
由此得
6． 设
是来自
的样本，α＞0已知，试证明，
是
于是
时,
利用此结果计
的有效估计，
从而也是UMVUE.
【答案】总体Ga （α, X ）的密度函数为
所以λ的费希尔信息量为这就是说的任一无偏估计的C-R 下界为
又
这就证明了
7． 设
是是来自
的有效估计，从而也是UMVUE. 的样本,
为其次序统计量, 令
证明【答案】令作变换
其中
函数为
该联合密度函数为可分离变量, 因
而
8． 设二维随机向量（X , Y ）服从二维正态分布, 且
证明:对任意正常数a , b 有
【答案】记
则
由条件知p<0, 所以
由此得
相互独立.
则
的联合密度函数为
其雅可比行列式绝对值为, 联合密度
相互独立,
且