2017年湖南科技大学数学与计算科学学院832高等代数B考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
则A 与B （ ）.
所以A 的特征值为3，3，0；而
则A 与B （ ）.
使
且由①式得
因此A 与B 合同. 3． 若都是4维列向量，且4阶行列式
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
分别为A ，B 的伴随矩阵，
5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A
【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
并记A 各列依次为
由于AB=0可推得AB 的第一列
从而
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 二、分析计算题 6． 主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵. （1）设A 是一对称矩阵，T 为特殊上三角矩阵，而A 与B 的对应顺序主子式有相同的 值； （2）证明:如果对称矩阵A 的顺序主子式全不为0. 那么一定有一特殊上三角矩阵T 使对角形； （3）利用以上结果证明定理7的充分性. 【答案】（1）将A 与T 表成分块矩阵： 其中 是S 级方阵 于是 其中， 是S 级方阵，并且 是特殊上三角矩阵. 即等于A 的第s 个顺序主子式，（2）对A 的级数作数学归纳法 . 时，结论显然成立. 设对 级实对称矩阵结论已成立. 令 设A 是n 级实对称矩阵且 成 于是B 的第s 个顺序主子式为 则是一个特殊上三角矩阵，而是特殊下三角矩阵.
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