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一、分析计算题

1． 设复数域上n 次多项式.

证明：

的所有根也在上半复平面.

则

现任取一复数

的

虚部系数

因此

且

故

即

的根都在上半复平面.

2． 下列多项式在有理数域上是否可约？

（1）（2）（3）（4）（5）

为奇素数； 为整数.

无有理根，故不可约.

且虚部系数

由假设f （x ）的所有根都在上半复平面，

即每个

【答案】设f （x ）在复数域内的n 个根为

的所有根都在上半复平面.

【答案】（1）如果可约则必为2个1次因式之积. 故必有有理根，但（2）方法1因为没有有理根，所以没有1次因式.

如果有2次因式则可分解成两个2次整系数多项式之积，有两种情况：

或

这两种情况都无解，故

无2次因式.

因为这是一个4次多项式，如可约，则必有1次或2次因式. 所以这个多项式在有理数域上不可约. 方法2取p=2.利用艾森斯坦判别法可证这个多项式在有理数域上不可约.

（3）记

根据艾森斯坦判别法. （4）不可约. （5）不可约.

作替换不可约，故

则

也不可约.

3． 设c 实数

，是实数域上的n 维列向量

，阵.

【答案】证法1:显然B 为对称阵，且当c>10时，显然，当c<0时，

证完. 证法2:显然又故所以又

4． 设式

且

故

时

，

旺明：n 级矩阵

为实正定矩

为实对称矩阵，所以存在正交矩阵P ，使

的特征值均为正数，结合是关于z 的次数

的多项式.

吋称即得其为正定矩阵.

为任意数，证明：行列

并举例说明条件“次数【答案】（1）当（2）当

是不可缺少的.

中有两个数相同时，①式显然成立（•. •有两行相同）.

互不相同时，令

由于（i ）若均有

（3）条件“次数再取

的次数

则

因此F （x ）只有两种可能. 此时F （x ）最多只有，

即有n-l 个根，矛盾，即

再将x=a，代入，即证①式.

是不可缺少的，比如设n=3, 且

这时①式左端为

即①式不成立.

个不同根但由②式，将

代入

5． 设A 为2×2矩阵. 证明|:如果.

【答案】由

设

则由

且

若

若r （A ）=1，则

则k=0，故

6． 求多项式

【答案】记则于是

有重根的条件是

如果

那么

的条件是

（1为n 阶单位阵）. 问：A 是否一定为正定实对

因此，f （x ）有重根的条件为

7． 设A 为n 阶实对称阵，且

称方阵？如是，说明理由；如不是，举出反例.

【答案】A 是正定的. 下证A 的任一特征值

从而

因为

所以

即

即A 的特征值全为1，所以A 为正定阵.

设是A 属于特征值的特征向量. 则

如果

那么

由此得

的条件是

有重根的条件.

能整除

由于实对称阵的特征值均为实数，因而知

8． 如果AB = BA，矩阵B 就称为与A 可交换. 设

⑴

（2）

（3）

求所有与A 可交换的矩阵. 【答案】（1）

其中

为任意数；