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一、证明题

1． 设

(1) (2) 若

【答案】(1) 因为

证明：

则

所以

又因为

(2) 因

为

所以对

于于是

因为

2． 用

方法证明

：

则

所以

取

则当

时，有

即

3． 设

在点

存在，在点

于是有

令

因

为

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所以

即

存在N ，使得当n>N时

，

【答案】令

在点连续，证明f (x ，y ) 在点

可微.

【答案】因为其中

存在，由一元函数的可微性知

在

点连续，所以当

时有

故f (x ，y ) 在点

4． 试用定义

(1) 数列(2) 数列收敛于极限a. (1) 取

，则

证明：

从而可微.

即

不以1为极限； 发散.

任给

若在

之外数列

当n>l时

，

知，

不以1为极限. 因此，数列

发散.

是无界的. 设a 是任意一个实数，取

之外，否则

有界. 故数列

则

中有无穷多个项落在

丨中的项至多只有有限个，

则称数列于是，数列

中有无穷多个项落在

【答案】定义

之外. 由定义(2) 当n 为偶数时

于是，数列

不收敛于任何一个数，即数列

二、解答题

5． 求不定积分

【答案】方法一：

因此

方法二：

由此推出

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6． 应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积：(1)

星形线

【答案】(1) 由于星形线的对称性，

(2) 设双纽线所围的面积为S , 双纽线的极坐标方程为

(2)

双纽线

且图形关于y 轴对称的，因此

7． 导出下列不定积分对于正整数n 的递推公式：

【答案】⑴

移项，得

8． 求下列不定积分：

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