2017年郑州大学数学与统计学院655数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：开集与闭集具有对偶性一若E 为开集，则设这个聚点为A , 则必有
为闭集；若E 为闭集，则为开集.
中至少有一个聚点不属于
因此，U
【答案】(1) 设E 为开集，假设不是闭集，则由闭集定义知(A ) 中不含有Ee*的点，这与A
是
因为E 为开集，所以存在点A 的某邻域U (A ) ，使
的聚点矛盾，因此，若E 为开集，则为闭集.
(2) 设E 为闭集，假设不是开集，由开集定义知中至少有一个点不是为B ，则根据内点的定义知，对点B 的任何邻域U (B ) 都有U (B ) 不含于点，因此，B 为E 的聚点，但与
2． 按定义证明：
(1) (4)
(2) (5)
的内点，设这个点
即U (B ) 中含有E 中的
是闭集矛盾，因而，若E 为闭集，则为开集.
(3)
【答案】(1) 由于
故对任意的(2) 不妨设
，只要取
则
[’
对任意的
只要取
则当
[时，有
(3) 由于
对任意的(4) 由于
只要取
则当n>N时，有
对于任意的
只要取
故
则当时，这就证明了
，则当
时
(5) 因为a>l，令
由得对于任给取则当
时，有
故
3． 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.
局部保号性：若函数作在点
内
与【答案】设续，所以存在
从而当当得在其上
即
可见/在
上与
同号且
4． 用区间套定理证明闭区间上连续函数的零点存在定理.
【答案】不妨设
若
取
同样，若若
有
且满足因为f (x ) 在由于
取
得证；
若
如此继续可得闭区间套
且
故有
处连续，故
所以
取满足
于是由闭区间套定理知存在惟一的
于是
若
若
得证；
取
于是
有
连续，而且
则函数
在点
的某一邻域使得对任
意
因为
时
住取
由上可知存在
使
在点
处连
同号，并存在某个正
数
则存在r , 使
取使得当
时，有
二、解答题
5． 若曲线以极坐标线积分：
(1) (2) 且
其中L 为曲线其中L 为对数螺线
表示，试给出计算的公式，并用此公式计算下列曲
的一段； 在圆
内的部分.
【答案】因L 的参数方程为
6． 求下列线积分：
(1) (2
)
【答案】(1) 令
在全平面成立，所以线积分在
全平面上与路径无关，这时必有原函数存在。为求被积表达式的原函数，先求积分
所以原函数
因而
(2) 记被积表达式为则的外微分为
所以线积分在全空间上与路径无关。为求的原函数，先求三个不定积分：
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