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一、证明题

1． 设f ，g 为定义在D 上的有界函数，满足

(1) (2)

【答案】(1)

设

是，是f (x ) 的一个上界，而

(2)

设

只需证

只需证

是f (x ) 的最小上界，故

因为对一切

则有

因对一切

有

于是

是

有

于

证明：

g (x ) 的一个下界，而是g (x ) 的最大下界，故

2． 设f 为可导函数，证明：若

时有

【答案】由复合函数求导法则，有

由题设

3． 设

时得

在

上有

阶导数且

及

求证：【答案】将

.

在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开

对

在a 点作同样的展开，有

将上式代入式(1) 可得

比较式(2) 、式(3) ，且有故

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即故

由微分中值定理

则

4． 设

b]上的连续函数列，为[a，且对任意

在[a，b]上不一致收敛于f (x ) ，则使得

这里不妨设设

再由

由于在点

连续，且由于数列

有界，故必有收敛子列，不妨设该收敛子列为故存在正整数N ，使得

所以

由保号性，存在正整数K ，当k>K

时有所以当n>N时

矛盾. 从而

. 由

关于n 单调递增趋于f (x ) ，

在[a，b]上一致收敛于f (x ) .

且

有

证明：如果

对任意正整数k

，

收敛于连续函数f (x ) ，则

【答案】假设

在[a, b]上必一致收敛于f (x ) .

二、解答题

5． 求下列函数的n 阶导数：

【答案】

由莱布尼茨公式得

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又因当

时

所以，

设则

6． 设f 为连续可微函数. 试求

【答案】

由于

所以

7． 一物体在某介质中按移至

【答案】

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并用此结果求

作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由

时克服介质阻力所作的功。