2017年郑州大学联合培养单位周口师范学院655数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】所以故
当
=时
，从而
都连续
且
可以用来作为曲线坐标
.
分别对应
平面上坐标曲线
如图1、2所示
由反函数组定理知，存在函数
组
证明：当
时，
可以用来作为曲线坐标，解出
作为
的函数；画出平面上
所对应的坐标曲线；计算
并验证它们互为倒数.
图1 图2
因
而前面已算得
即
互为倒数.
2． 设n 是平面区域D 的正向边界线C 的外法线，则
【答案】由
公式有
3． 1) 设
(1) (2) 若
则
证明：
(又问由此等式能否反过来推出
) ；
2) 应用上题的结论证明下列各题： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 若
(8) 若
【答案】(1)
因为
于是当
则则时，有
其中
的
存在正整数
使得当
时，有
取
则当
时，有
故
所以对于任意
的
存在正整
数
当
时，
有
又因为所以对上面
由这个等式不能推出(2) 根据极限保号性，由
有
例如
可得
如果a>0, 那么
但不收敛.
由平均值不等式
由1)(1) 的结论可得
再由迫敛性得因此，由迫敛性得2)(1) 因为
(2) 令
(3) 令
所以
则
如果a=0, 则
综上所述，有
由第1)(2) 题知，
则
由第1(2) 题知，
(4) 令
则
由第1)(2) 题知，
) .
(5) 令
则
由第1)(2) 题知，
因而
(6) 令
则
由第3(1) 题得知，
(7) 补充定
义
令
则
由
知
因
为
所
以
且
由第1)(2) 题得
(8) 令
则
由第1)(1) 题知，