2017年南京农业大学1106概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 某种产品上的缺陷数X 服从下列分布列
：均缺陷数.
【答案】由题意知Y=X+1可看作服从几何分布Ge （1/2）的随机变量，所以E （Y ）=2，由此得E （X ）=E（Y ）-1=1.
2． 设二维随机变量（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布, 求极坐标
的联合密度.
【答案】因为（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布, 所以（X , Y ）的联合密度函数为
则
求此种产品上的平
所以
由此得
和
的联合密度函数为
3． 设二维随机变量
的联合密度函数为
求X 与Y
中至少有一个小于0.5的概率.
【答案】两事件
中至少有一个发生的概率为
4． 将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求：
（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率； （2）恰好有m 个空盒的概率；
（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率.
【答案】先求样本点总数，我们用N+1根火柴棒排成一行，火柴棒之间的N 个司隔恰好形成N 个盒子，并依次称它们为第1个盒子，第2个盒子，…，第N 个盒子，n 个球用“0”表示，考虑到两端必须是火柴棒方能形成N 个盒子，所以n 个（不可辨）球放入N 个（可辨）盒子中，就相当于把N-1根火柴棒（N+1根火柴棒中去掉两端的两根）和n 个“0”随机地排成一行，譬如N=4, n=3
时，“10010111”表示第1个盒子中有2个球、第2个盒子中有1个球、第3、4个盒子中无球，这样一来，n 个球放入N 个盒子所有的样本点总数相当于：从N-1+n个位置任选n 个位置放“0”、其他位置放火柴棒，故样本点总数为
（1）记A 为事件“指定的某个盒子中恰有k 个球”，不失一般性，可认为第1个盒子中有k 个球，则余下n-k 个球放入另外N-1个盒子中，类似于样本点总数的计算，
此种样本点共有
考虑到球不可辨故
（2）记
为事件“恰有m 个空盒”，它的发生可分两步描述：
种取法.
第一步，从N 个盒子任取m 个盒子，共有
第二步，将n 个球放入余下的N_m个盒中，且这N —m 个盒子中都要有球，
这当然要求
：
或
否则第二步发生的概率为零，为了使第二步能发生，我们设想先把n 个
球排成一行，随机抽取球与球之间的n-1个间隔中的N-m-1个间隔放火柴棒即可，这有种可能.
综合上述两步，所求概率为
（3）若事件C 表示“指定的m 个盒子中恰有j 个球”，这意味着另外N-m 个盒子中放n-j 个球，由类似于样本点总数的计算知：j 个球放入m 个盒子中共余下的N-m
个盒子中有
种放法，于是所求概率为
5． 设
种放法，而另外n-j 个球放入
是来自正态总体的样本, 的充分统计量.
是来自另一正态总饵的样本,
这两个样本相互独立, 试给出
【答案】样本石
的联合密度函数为
其中取
由因子分解定理,
1是
的充分统计量.
6． 一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？
【答案】设事件A 为“颗骰子掷4次，至少出现一次6点”，则. 为“一颗骰子掷4次，不出现6点”，于是
又设事件B 为“两颗骰子掷24次，至少出现一次双6点”，则瓦为“两颗骰子掷24次，不出现双6点”，于是
从计算结果可以看出：赌徒的感觉是不对的，因为两者的概率相差0.0263，而概率相差0.0263的两个事件，在实际中仅凭感觉很难发现它们的细小差别，只有从理论上才能识别.
7． 设随机变量X 的密度函数为
如果E （X ）=2/3，求a 和b. 【答案】由
得
又由
得
，解得a=l/3，b=2. 联立（1）（2）
8． 某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率.
【答案】这是一个配对问题. 以A ；记事件“第i 个战士拿到自己的枪”，i=l，2，…，n. 因为
所以由概率的加法公式