2017年南京师范大学F093概率论与数理统计之概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 的密度函数为
试求X 的分布函数.
【答案】由于密度函数p （X ）在四段设立，具体如下：
，所以其分布函数也要分上分为四段（如图）
图
综上所述，X 的分布函数为
2． 某大学随机调查120名男同学，发现有50人非常喜欢看武侠小说，而随机调查的85名女同学中有23人喜欢，用大样本检验方法在差异？并给出检验的p 值.
【答案】设X 为120名男同学中喜欢看武侠小说的人数，为其真实比例，Y 为85名女同学中喜欢看武侠小说的人数
，为其真实比例，
则
由于这里样本量较大，可以采用大样本u 检验方法，注意到
其中
于是，在成立的条件下，近似有
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下确认：男女同学在喜爱武侠小说方面有无显著
待检验问题为
其中
将
的值代入，可算得
对显著性水平武侠小说方面有显著差异.
此处检验的p 值为
3． —个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，其中有k 个白球，求罐子里黑球数和白球数之比R 的最大似然估计.
【答案】解法1 记P 为罐子中白球的比例，令Xi 表示第i 次有放回抽样所得的白球数，
则
，故p 的最大似然估计为
因为黑球数与白球数比值
根据最大似然估计的不变性，有
对具体的样本值即n 个抽到k 个白球来讲，R 的最大似然估计为从中有放回的抽一个球为白球的概率为
从罐中有放回的抽n 个球，可视为从二点分布
表
中抽取一个样本容量为n 的样本. 当样本中有k 个白球时，似然函数为
， 其对数似然函数为InL （R ）=（n-k ）lnR-nln （1+R）将对数似然函数对R 求导，并令其为0, 得似然方程解之可得所以
由于其对数似然函数的二阶导数为
是R 的最大似然估计.
譬如，在n=10, k=2场合，R 的最大似然估计
即罐中黑球数与白球数之比的最大
检验拒绝域为
观测值落入拒绝域，故认为男女同学在喜爱
解法2 设罐子里有白球1个，则有黑球R1个，从而罐中共有（1+R）1个球.
似然估计为4, 若白球1个，黑球为4个；或者白球2个，黑球为8个等.
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4． 掷一颗均匀的骰子2次, 其最小点数记为X , 求E （X ）.
【答案】X 的分布列为
表
所以
5． 两台车床生产同一种滚珠，滚珠直径服从正态分布，从中分别抽取8个和9个产品，测得其直径如下表
表
比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显差异（取Y 为乙车床生产的滚珠直径，原假设为算得
到
于
是
备择假设为
）.
此处™=8, 9，由样本数据计
查表
有
绝
域
为
【答案】这是一个关于两正态总体方差的一致性检验问题，设X 为甲车床生产的滚珠直径，
若取显著性水
平
从
而
拒
由于检验统计量的值不在拒绝域内，因此认为两台车床生产的滚珠直径的方差没有明显差异.
6． 设
与
独立同分布, 其共同分布为
与
然后计算
与
的相关系数
.
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试求的相关系数.
【答案】先计算的期望、方差与协方差
.
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