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一、证明题

1． 设

是来自

的样本，证明

为

没有无偏估计.

的无偏估计，则

由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在因此，假不成立，即

没有无偏估计.

2． 设连续随机变量X 服从柯西分布，其密度函数如下:

其中参数

（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若

【答案】（1）因为

时，记Y=X, 试证

相互独立，且服从同一柯西分布，试证:

的密度函数为

y 的特征函数为

下证柯西分布的可加性，设若

与

相互独立，则

这正是参数为为

（2）当所以

由于

当然X 与Y 不独立.

不能推得X 与Y 独立.

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【答案】（反证法）假设

处不存在导数.

常记为

且利用此结果证明柯西分布的可加性；

但是X 与Y 不独立；

与

同分布.

由此得服从参数为

的特征函数

的柯西分布，其密度函数为

的柯西分布的特征函数，所以由唯一性定理知，

时有

服从参数

的柯西分布.

此题说明，由

（3）设

都服从参数为性得:

即

3． 设总体单随机样本. 证明:

（1）

是

的特征函数为

的柯西分布，则特征函数为

由相互独立

与具有相同的特征函数，由唯一性定理知它们具有相同的分布.

（即X 服从于参数为的泊松分布）, 其中的无偏估计量但

不是是

的无偏估计量. 的无偏估计量. , 故

是来自总体的简

（2）样本函数

【答案】 （1）由题意知, 又则

相互独立, 且

又即证

是的无偏估计量, 但

不是

的无偏估计量.

（2）由得

即证

是的无偏估计.

4． 从同一总体中抽取两个容量分别为n , m 的样本，

样本均值分别为

将两组样本合并，其均值、方差分别为

证明:

【答案】设取自同一总体的两个样本为由

得

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样本方差分别为

由

得

5． 设X 为非负连续随机变量，证明:对x ≥0,

有

【答案】设X 的密度函数为p （X ），则有

6． （1）设分布函数

其中

与

分别为总体的分布函数与密度函数.

时，样本极差

的分布函数.

做变换于是

与

其逆变换为

的联合密度为

由此可以算得

的边际密度为

的分布函数为

（2）对于指数分布

由（1）中结果，有

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.

和分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量，证明极差的

（2）利用（1）的结论，求总体为指数分布【答案】（1）

与

的联合密度函数为

雅可比行列式绝对值为