2018年西北农林科技大学风景园林艺术学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
，试证:事件A 与B 独立的充要条件是
.
【答案】先证必要性:因为A 与B 独立，所以A 与独立，由此
得再证充分性:由由此得 2． 设
来自伽玛分布族
可得
，所以A 与B 独立.
的一个样本，寻求
的充分统计量.
，即
【答案】样本的联合密度函数为:
由因子分解定理，
3． 设
【答案】
若令
可得
再令
，可得
当k 为偶数时，当k 为奇数时，.
4． 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布
试求X 的特征函数. 【答案】
设
的特征函数为
是相互独立同分布的随机变量，且都服从参数为p
的几何分布
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或
是充分统计量.
，求
其中又因为所以X 的特征函数为
5． 设
是来自的样本，试给出一个充分统计量.
【答案】样本的联合密度函数为
令
取
由因子分解定理，
为的几何平均
或其对数
的充分统计量. 另外
，
都是的充分
的一一变换得到的统计量，如统计量.
6． 设随机变量X 的分布函数为
试求E （X ）. 【答案】
7． 设从均值为n ，方差为常数a , b 使
【答案】由于
达到最小. 和
是容量分别为
和
的两独立样本的均值，故
因而
这证明了又由
知，
是的无偏估计.
从而
由求导知，当
时，
达到最小，此时
的总体中，分别抽取容量为
和的两独立样本，
都是
和
分别
是这两个样本的均值. 试证，
对于任意常数的无偏估计，并确定
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这个结果表明，来自同一总体的两个容量为均值
是线性无偏估计类
和
的样本的合样本（样本量为
中方差最小的.
是取自该总体的简单随机样本，
其中
. 而
又
由此，
为样本均值，
）的
8． 设总体X 的3阶矩存在，若为样本方差，试证:
【答案】注意到
二、证明题
9． 设事件A ，B ，C 的概率都是
【答案】因为
上式移项即得结论.
10．从同一总体中抽取两个容量分别为n , m 的样本，
样本均值分别为
将两组样本合并，其均值、方差分别为
证明:
【答案】设取自同一总体的两个样本为由
得
样本方差分别为
，且
，证明:
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