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一、证明题

1． 证明:

【答案】不妨设另一方面，还有

综合上述两方面，可得

2． 设

为独立随机变量序列，且

证明:

服从大数定律.

相互独立，且

故可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

若

其中

则

而

正是泊松分布的特征函数，故得证.

为样本，

分别为,

分别是

的无偏估计，设

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. ，则

【答案】因

3． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布

则

【答案】二项分布因为

所以当

的特征函数为

时，

4． 设总体

证明:

【答案】大家知道:

的UMVUE.

是0的任一无偏估计，

则

*

即

将

式两端对求导，并注意到

有

这说明为证明是

，即

，于是

式的两端再对求导，得

由此可以得到的项，有

这表明这就证明了是 5． 记

证明

【答案】

由

得

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，从而是的UMVUE.

的UMVUE ，我们将

，下一步，将式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0

由此可得到的UMVUE ,

，因而

t

6． 设随机向量

证明:【答案】由

满足

知

7． 设随机变量

【答案】若随机变量而

这就证明了

8． 设

分别是

的UMVUE ，

是的UMVUE ，故

于是

►

因此

是

的UMVUE.

，且对任意一个

，

，分别是

证明

则

也服从

从而

所以

证明:对任意的（非零）常数【答案】由于满足

，由判断准则知

二、计算题

9． （巴拿赫问题）某数学家有两盒火柴，每盒都有n 根，每次使用时，他任取一盒并从中抽出一根，问他发现一盒空而另一盒还有概率是此概率的2倍.

先计算样本空间中的样本点个数，因为每次都是等可能地取A 盒或B 盒，共取了2n -r +l 次，故样本空间中共有

个样本点.

个，因此

事件E 发生可分两段考察，前2n -r 次中A 盒恰好取到n 次，且次序不论，最后一次（第2n -r +l 次）必定取到A 盒，这样才能发现A 盒已空，此种样本点共有

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根的概率是多少？

【答案】由对称性知，只要计算事件E =“发现A 盒空而B 盒还有r 根”的概率即可，所求