2018年西安财经学院统计学院802西方经济学与统计学(各占50%)之概率论与数理统计教程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设总体
证明:
【答案】大家知道:则
分别是
为样本，
分别为, 的无偏估计，设
的UMVUE.
是0的任一无偏估计，
*
即
将
式两端对求导，并注意到
有
这说明为证明是
，即
，于是
式的两端再对求导，得
由此可以得到的项，有
这表明这就证明了是
由此可得到的UMVUE ,
是方差一致有界的随机变量序列，且当服从大数定律.
任对
所以
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，从而是的UMVUE.
的UMVUE ，我们将
，下一步，将式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0
，因而
t
2． （伯恩斯坦大数定律）设有
【答案】记有
证明:
时，一致地
当
时，
存在
由的任意性知
所以由马尔可夫大数定律知
3． 设随机变量
服从大数定律.
且X 与Y 相互独立，令
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知，（3）由（2）知所以
4． 设
由此得
是来自两参数指数分布
的样本，证明
是充分统计量.
【答案】由已知，样本联合密度函数为
令
由因子分解定理，
5． 设
证明: （1）（2）
是
的有效估计；
是的无偏估计，但不是有效估计.
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所以
因为X 与Y 相互独立，
的充分统计量•
的一个样本，若均值已知，
是来自正态总体
【答案】（1）由下界，
知. 为了获得的元偏估计的C-R
需要费希尔信息量，大家知道，正态分布的密度函数p （x ）的对数是
由此得的费希尔信息量
从而的无偏估计的C-R 下界为
无偏估计的方差相等，故此
是
，
的有效估计.
此下界与上述（2）由于
可见，
，即是的无偏估计，其方差为
为了获得的无偏估计的C-R 下界，需要知道的费希尔信息量，由于
从而的元偏估计的C-R 下界为由于无偏估计的方差此处，
，
，故不是的有效估计.
的无偏估计的C-R 下界与的方差的比为
，
该比值常称为无偏估计的效. 6． 设总体X 服从于证明：
【答案】由X 服从
, 且分布、是
的无偏估计置.
其中分布可知,
为总体的样本,
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