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一、计算题

1． （巴拿赫问题）某数学家有两盒火柴，每盒都有n 根，每次使用时，他任取一盒并从中抽出一根，问他发现一盒空而另一盒还有是此概率的2倍.

先计算样本空间中的样本点个数，因为每次都是等可能地取A 盒或B 盒，共取了2n —r+1次，故样本空间中共有

个样本点.

个，因此

事件E 发生可分两段考察，前2n —r 次中A 盒恰好取到n 次，且次序不论，最后一次（第2n_r+l次）必定取到A 盒，这样才能发现A 盒已空，此种样本点共有

所求概率为

譬如，取

可算得

2． 检查了一本书的100页，记录各页中的印刷错误的个数，其结果如下

表

1

问能否认为一页的印刷错误个数服从泊松分布（取

）.

根的概率是多少？

【答案】由对称性知，只要计算事件E=“发现A 盒空而B 盒还有r 根”的概率即可，所求概率

【答案】这是一个要检验总体是否服从泊松分布的假设检验问题. 由于有几类的观测个数偏少，为使用近似分布，需要把后面四类合并为一类. 于是我们把总体分成4类，在原假设下，每类出现的概率为：

未知参数可采用最大似然方法进行估计，为

将代入可以估计出诸

于是可计算出检验核计量

表2

如下表：

若

取查表知

，故拒绝域

为

由

于

故不拒绝原假设，在显著性水平为0.05下可以认为一页的错字个数是服从

泊松分布的. 此处检验的p

值为

3． 设一页书上的错别字个数服从泊松分布

有两个可能取值：1.5和1.8, 且先验分布为

现检查了一页，发现有3个错别字，试求λ的后验分布. 【答案】

因此

由以上结果我们可以得到λ的后验分布

4． 设差. 求k , 使得

是来自正态分布

）的一个样本, 与

所以

分别是样本均值与样本方

【答案】在正态总体下, 总有

即

故

是自由度是n_l的t 分布t （n —1）的0.05分位数, 即

从而

5． 设随机变量X 满足

【答案】由，

已知

及题设条件

得

如今n=17,

查表知

试求

从中解得

6． 已知离散随机变量X 的分布列为

表

1

试求【答案】

的分布列. 的分布列为

表

2

的分布列为

表

3

7． 用一个仪表测量某一物理量9次，得样本均值

（2）求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间. 【答案】（1）此处

，的

置信区间为

从而的置信水平为0.95的置信区间[0.1487，0.4215] （2）当未知时，的查表得

置信区间为

，因而的置信水平为0.99的置信区间为

查表知

，样本标准差s=0.22.

（1）测量标准差大小反映了测量仪表的精度，试求的置信水平为0.95的置信区间；

8． 设离散总体的分布列为

现进行不返回抽样, 函数）.

【答案】由于N 有限, 抽样是不返回的, 所以样本

为样本, 为样本均值, 求与（表示成N 的

中诸的分布列与总体的分布列相