2018年北京市培养单位北京基因组研究所803概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 在伯努利试验中，事件A 出现的概率为p , 令
证明:【答案】
服从大数定律.
为同分布随机变量序列，其共同分布为
表
且
从而
又当
时,
与独立，所以
又因为
于是有
即马尔可夫条件成立，故
2． 设
服从大数定律.
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明:（2）计算
和
和
的均方误差并进行比较；
都是的无偏估计；
的估计中，
，故
最优.
，
（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为
，
记
，则Y 的密度函数为
于是有
这表明
也是的无偏估计.
故有
又
从而
由于（3）对形如
，因此在均方误差意义下，的估计有
优于
，故
»
因此当在形如
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，
的估计中，
最优.
（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
3． 证明下列事件的运算公式:
（1）（2）
【答案】（1）右边=（2）利用（1）
有
=左边. , 所以
间的相关系数分别为
证明:
因为
所以
4． 设随机向量
【答案】记标准化变量为
考虑到故的协方差阵的行列式为
再由协方差阵的非负定性，可得
移项即得结论.
5． 证明:对任意常数c , d , 有
）
【答案】
由
得
因而结论成立.
6． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明:
【答案】（1）由于
存在，所以该级数绝对收敛，从而有
（2）
7． 设在常数c
为独立同分布的随机变量序列，方差存在，令使得对一切n 有
则
证明:
服从大数定律.
对任意的
. 又设
有
为一列常数，如果存
【答案】不妨设
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