2018年北京市培养单位北京基因组研究所803概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量与
（1）（2）
【答案】（1）设所以当即所以当即（2）因为所以
所以由此得
所以
的联合密度函数为
这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.
2． 设X 为非负连续随机变量，证明:对x ≥0,
有
【答案】设X 的密度函数为p （X ），则有
3． 设
是来自
的样本，的密度函数为
已知，试证明，
是
于是
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相互独立，且都服从和
则
的密度函数为则
上的均匀分布，试证明:
是相互独立的标准正态随机变量.
又因为
时，
又设时，
的密度函数为
.
，的有效估计，
从而也是UMVUE.
【答案】总体
所以的费希尔信息量为，这就是说
的任一无偏估计的C 一R 下界为
又
这就证明了
是
的有效估计，从而也是UMVUE.
4． 设随机变量X 与Y 相互独立，且方差存在. 证明:
【答案】
5． 设g （X ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且
有
存在，证明:对任意的
，
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则
注:此题给出证明概率不等式的一种方法两次放大:第一次放大被积函数；第二次放大积分区域.
6． 设
令证明:且
服从
则
相互独立，
相互独立，服从
【答案】令
再令则
所以变换的雅可比行列式为:
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计算该行列式，可得
因为，
把雅可比行列式代入上式可得
由此可知
7． 证明:
（1）（2）
【答案】（1）由
.
，移项即得结论.
相互独立，且服从
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
分别是
的UMVUE ，
是的UMVUE ，故
于是
►
因此
是
的UMVUE.
，且对任意一个
，
，分别是
8． 设
证明:对任意的（非零）常数【答案】由于满足
，由判断准则知
二、计算题
9． n 个男孩，m 个女孩
随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率.
时，所求概率为
【答案】将n 个男孩看成是n 个“0”，m 个女孩看成是m 个“1”，而“任意两个女孩都不相邻”则相当于“没有两个1连在一起”，于是在
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