2018年北京林业大学水土保持学院725数学(自)之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量与
（1）（2）
【答案】（1）设所以当即所以当即（2）因为所以
所以由此得
所以
的联合密度函数为
这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.
2． 设随机变量
【答案】若随机变量而
这就证明了
:
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相互独立，且都服从和
则
的密度函数为则
上的均匀分布，试证明:
是相互独立的标准正态随机变量.
又因为
时，
又设时，
的密度函数为
证明
则
也服从
从而
3． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）
（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率. 因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N —m+1次必取到白球，若记P k 为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.
4． 设证明
:服从贝塔分布，并指出其参数.
【答案】若
则X 的密度函数为
由其反函数为
上是严格单调增函数，
的密度函数为
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
5． 设
证明: （1）
是
的有效估计；
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其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.
的一个样本，若均值已知，
是来自正态总体
（2）
【答案】（1）由下界，
是的无偏估计，但不是有效估计. 知
. 为了获得
的元偏估计的C-R
需要费希尔信息量，大家知道，正态分布的密度函数p （x ）的对数是
由此得的费希尔信息量
从而的无偏估计的C-R 下界为
无偏估计的方差相等，故此
是
，
的有效估计.
此下界与上述（2）由于
可见，
，即是的无偏估计，其方差为
为了获得的无偏估计的C-R 下界，需要知道的费希尔信息量，由于
从而的元偏估计的C-R 下界为由于无偏估计的方差此处，
，
，故不是的有效估计.
的无偏估计的C-R 下界与的方差的比为
，
该比值常称为无偏估计的效.
6． 设随机变量X 取值
【答案】
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的概率分别是. 证明
:
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