2018年北京市培养单位北京基因组研究所803概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】若
证明
:
服从贝塔分布，并指出其参数.
则X 的密度函数为
由其反函数为
上是严格单调增函数，
的密度函数为
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
2． 设
其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.
试证明:当n 充分大时
，
为一独立同分布的随机变量序列，已知
近似服从正态分布，并指出此正态分布的参数.
【答案】因为为独立同分布的随机变量序列，所以也是独立同分布的随机变量序列.
根据林德伯格-莱维中心极限定理知，近似服从正态分布，其参数为
3． 设总体X 服从于证明：
【答案】由X 服从又
, 且分布、是
的无偏估计置.
其中分布可知, 是
的无偏估计量
第 2 页，共 45 页
为总体的样本,
则
又故 即证
4． 设总体
证明:
【答案】大家知道:则
分别是
是
的无偏估计量.
为样本，
分别为, 的无偏估计，设
的UMVUE.
是0的任一无偏估计，
*
即
将
式两端对求导，并注意到
有
这说明为证明是
，即
，于是
式的两端再对求导，得
由此可以得到的项，有
这表明这就证明了是
5． 从正态总
由此可得到的UMVUE ,
. 中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明:不管
，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布.
第 3 页，共 45 页
，从而是的UMVUE.
的UMVUE ，我们将
，下一步，将式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0
，因而
t
先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
【答案】设的先验分布为
，
其中所以
由于n=100，
故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
6． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:
【答案】由于其中
代回原式即得证.
7． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p , 证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为
的泊松分布.
【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有
这表明:Y 服从参数为
8． 设总体的概率函数证明费希尔信息量
【答案】记，
，则
所以
另一方面，
第 4 页，共 45 页
存在，所以级数绝对收敛，从而有
的泊松分布.
的费希尔信息量存在，若二阶导数
对一切的
存在，
相关内容
相关标签