2018年北京市培养单位华大教育中心803概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
分别是
的UMVUE ，
是的UMVUE ，故
于是
►
因此
是
的UMVUE. 的容量为
的分布函数与密度函数分别为
的密度函数为
令
此变换的雅可比行列式的绝对值
于是y 的密度函数为
其中可得
这表明密度函数同时还有
3． 设随机变量与
（1）（2）
和
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证明:对任意的（非零）常数【答案】由于满足
，分别是
，由判断准则知
，且对任意一个
，
2． 来自正态总体于对称，
且
【答案】记正态分布则容量为
的样本中位数是证明的密度函数关
与
的样本中位数
与分别是标准正态分布
的分布函数与密度函数，依据它们的性质
是偶函数，从而与
相互独立，且都服从
的密度函数关于对称，
上的均匀分布，试证明:
是相互独立的标准正态随机变量.
【答案】（1）设所以当即所以当即（2）因为所以
时，
又设时，
则
的密度函数为则
的密度函数为
所以由此得
又因为
所以
的联合密度函数为
这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.
4． 设随机向量
【答案】记标准化变量为
因为考虑到
故
所以
的协方差阵的行列式为
再由协方差阵的非负定性，可得
移项即得结论.
5． 设随机变量X 取值
【答案】
6． 设连续随机变量X 的密度函数P （x ）关于c 点是对称的，
证明：其分布函数F （X ）
有
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间的相关系数分别为
证明:
的概率分别是. 证明
:
【答案】由p （X ）关于C 点是对称的，知
由
对上式右端积分作变量变换再对上式右端积分作变量变换结论得证.
对称分布函数的这个性质可用图1表示:
，则
，则
图1
7． 设随机向量
令
证明:
两两不相关的充要条件为
则
同理可得
由此得必要性:若由此得
8． 设总体为如下离散型分布
表
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间的相关系数分别为且
【答案】充分性:若
两两不相关.
两两不相关，则由上面的推导可知