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一、证明题

1． 证明:若f （x , y ）在有界闭区域D 上连续, g （x , y ）在D 上可积且不变号, 则存在一点

使 得

【答案】不妨设

. 令M , m分别是f 在D 上的最大、最小值, 从而

若若

, 则由上式, 则必大于0, 于是

由介值性定理, 存在

, 使得

即

2． 将函数

【答案】由

逐项积分上式得

因为

及

在[0, 1]上连续.

收敛, 则

在[0, R]上一致收敛, 且

若

和函数

在

上有界, 则

收敛

, 还可以逐项积分, 即

根据定理“若

在x=0点展开为幂级数, 并证明此幂级数在[0, 1]上一致收敛.

. 于是任取

即可.

.

可知级数收敛; 再根据以上定理知幂级数在[0, 1]上一致收敛.

3． 设f 为[a, b]上二阶可导函数, 点

由同理, 存在又因为存在

4． 设

在区间

为正数,

与在

使, 使得

. 证明:方程

使得

, 并存在一点使得

使

证明至少存在一

【答案】因f （x ）在[a, c]上满足拉格朗日中值定理, 故存在

得

.

. 于是有

上可导, 由拉格朗日中值定理知,

内各有一个根.

, 故有

由根的存在性定理, 必存在令

则

即

（2）证法二:令因

为

在

与

.

, 所以存

在

由连续函数根的存在定理知,

存在

在内有一个根. 同理可证, 方程在

5． 设，证明:

【答案】因为

【答案】（1）证法一:设辅助函数

f （x ）为初等函数, 因此f （x ）为连续函数. 由于

和使得.

内各有一个根.

且

,

使得

, 使

得

,

故方程

内也有一个根.

所以

6． 已知

证明:

则

内严格单调递增.

因此

则

所以又

在

内严格单调递增.

此即

7． 证明:若单调数列

【答案】设切正整数k ,

8． 设f （x ）为[a, b]上连续函数, 且对任一满足

有

【答案】令

>

则g （x ）在[a, b]上连续, 且

,

由题设有

于是

此即

【答案】令所以又再令

在

含有一个收敛子列, 则

收敛.

是有界的. 设正数M 是的一个上界, 即对一的子列, 所以存在正整数s , 使得

收敛.

.

于是

是

单调递增, 它的子列收敛, 则

对任意的正整数n , 由于

这说明数列是有上界的. 由单调有界定理知, 数列

的连续函数g （X ）,

, 证明f （x ）为常值函数.