2018年沈阳航空航天大学理学院601数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 按
（1）（2）
（3）
（4）（5）
【答案】（1）由于
故对任意的（2）不妨设
只要取. 则
对任意的
只要取
则当
时, 有
（3）
由于
对任意的（4）由于
只要取
则当
对于任意的
时, 有只要取
, 故则当
（5）因为
令
由
得
对于任给
取
则当
故
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定义证明:
, 则当时, 这就证明了:
. 时
时, 有
2． [1]设函数f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可微, 又f （x ）不是线性函数. 证明:使
[2]设f （x ）在[0, 1]上可导, 且内存在一组互不相等的数
使得
.. ,
为n 个正数. 证明在区间[0, 1]
【答案】过点（a , f （a ））与（b , f （b ））的直线方程为
9
=f=f. 由于f , g 显然, g （a ）（a ）（b ）（b ）（x ）不是线性函数, 故存在点不妨设
, 则有
由拉格朗日中值定理,
时, 有
, 使
[2]用上例的思路来证明之. 令
以及
显然可以求得一点
又可求得一点
使得
在每一个小区间即
亦即
将上式对i 从1到n 求和, 可得
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, 使.
和, 使
, 取,
取
; .
当
于是, 总存在
当f （a ）>f（b ）时, 有
. 取
使使
.
再在. 总之, 我们有
在[0, 1]上对f （x ）应用介值定理,
上对f （x ）应用介值定理,
.
, 使得
. 如此下去, 可以求出
上, 对f （x ）应用拉格朗日中值定理, 存在
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3． 证明:
【答案】令
, 其中
, 因为
所以函数f （x ）在所以
, 即
上是凸函数. 因此
.
存在[a, b]上的可积函数g ,
, 而
,
4． 设函数f 在[a, b]上有定义,
且对于任给的
使得
证明f 在[a, b]上可积
. 【答案】因为
, 存
在相应的分割T , 使得
, 因此
这里
又因为函数g （
x ）在[a, b]上可积, 所以对任给的表示函数g （x ）在相应小区间上的振幅. 所以
而
5． 证明:若函数
f 在点, 使
.
, 故上连续, 且
内不存在使
,
使得
. 这与假设矛盾.
. 再由f
,
即f 在上可积. , 则在
内至少有一
（或
【答案】用反证法. 如果在
）总成立.
否则, 若存在
值定理,
存在
设当
, 使得时,
, 则当时
,
. 根据连续函数的介
可得
*
故
这与题设矛盾. 故在内至少存在一点使
二、解答题
6． 求下列均匀密度的平面薄板质心:（1）半椭圆的等腰梯形.
【答案】（1）设质心位置在
, 由对称性
,
（2）高为h , 底分别为a 和b
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