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一、解答题

1． 设

S

求级数

的和. ，

：，则，则

的收敛区间为（﹣1, 1），;

, 从而

2． 应用积分号下的积分法, 求下列积分:

（1）（2）

【答案】（1

）记连续, 于是有

记

则f （x , y ）在[0, 1] × [|a, b]上连续, 所以

作代换

后得到

因此

（2）

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【答案】设令令则

，

因为

故令

, 则g （x ）在[0, 1]上

3． 已知

【答案】令

则

求

所以 4． 设函数立等式

【答案】因为

同理，所以由

5． 试问函数

得r=l，故使

的点是满足方程

的点，

其中

求u 的梯度，并指出在空间哪些点上成

即空间以（a , b , c ）为球心，1

为半径的球面上的点都有

在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论, 为什么?

【答案】显然, f （x ）和g （x ）在区间[-1, 1]上连续, 在区间（-1, 1）内可导,

,

, 所以, 柯西中值定理的第3个条件（不同时为零）得

不到满足, 不能应用柯西中值定理得到相应的结论.

6． 求下列曲线在第一象限围成的图像的面积,

【答案】设区域

那么在变换

下, 区域被一一对应地映为

此时有

于是有

因此, 所求面积为

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二、证明题

7． （1）设

在

上非负递减, 证明

时

有极限L , 且

（2）设【答案】（1）令

则

, 证明数列收敛.

则由于且（2）令

有下界, 又

在

上单调递减, 则

收敛,

两边取极限得则

其中,

从而单调递减, 从而由单调有界定理得

由（1）知道可知而

是

的瑕点, 当收敛, 所以

时,

收敛. 因此, 数列收敛, 令

收敛.

,

8． 证明定理: 数列

收敛于a 的充要条件是:

的极限是1.

为无穷小数列.

并应用它证明数列【答案】（1）充分性, 设

为无穷小数列, 则

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于是, 对任意存在N , 使