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一、计算题

1． 设总体X 服从正态分布计量，考虑统计量:

求常数注意到

与

使得

与

都是的无偏估计.

和 则

于是有

和

从而给出

即可.

为来自总体X 的样本，为了得到标准差的估

【答案】由期望的公式及对称性，我们只需要求出

（为什么? ）和

我们只需要求出如下期望即可完成本题:设

2． 设随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为

试求 （1）常数k ;

（2）（x , y ）的联合分布函数F （x , y ）; （3）

【答案】（1）由

解得k=12.

（2）当x ≤0或Y ≤0时，有

；而当x >0，y>0时，

所以

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.

（3）

3． 设总体X 服从于泊松分布

（1）写出（2）计算

（3）设总体的容量为样本方差和经验分布函数.

【答案】 （1）由于同分布的性质知,

, 知的分布为

（2）由

则

（3）样本均值样本方差

故经验分布函数为

又根据样本是相互独立且与总体是

的概率分布；

,

的一组样本的观察值为

, 试求样本均值,

是来自总体X 的一个样本.

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4． 设是来自正态分布. 的样本.

（1）在已知时给出的一个充分统计量； （2）在已知时给出的一个充分统计量. 【答案】（1）在已知时，样本联合密度函数为

令

取

由因子分解定理，（2）在

为

的充分统计量.

已知时，样本联合密度函数为

令取

由因子分解定理，为的充分统计量.

5． 设

取拒绝域为

是来自0-1总体

一的样本，考虑如下检验问题

（1）求p=0，0.1, 0.2，…，0.9, 1时的势并由此画出势函数的图； （2）求在p=0.05时，犯第二类错误的概率. 【答案】 （1）势函数的计算公式为:

则p=0, 0.1，0.2，…，0.9，1时的势计算如下表:

表

可用软件计算，如matlab 语句为它在P=0.2处达到最小.

. 势函数图如图，

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