2018年太原理工大学数学学院883概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是独立同分布的正值随机变量，证明:
【答案】记又因为由此得
2． 若因为
所以有
3． 证明:对任意常数c , d , 有
）
【答案】
由
得
因而结论成立.
4． 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布. 证明:
在区间
上服从均匀分布.
代入函数
，即得
.
，证明:对任一事件B , 有
，所以由单调性知
.
，从而得
，又
，则诸同分布，且由
，所以有
，知|
存在且相等，
【答案】因为
【答案】随机变量X 服从参数为2的指数分布, 则X 的概率密度为求得到
的分布, 关键是确定分段点. 将X 的概率密度函数的分段点同时利用函数
的图形知它的最大值是
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当当
是不可能事件, 所以
时, 时, 则
下面求Y 的分布函数
当时,
综上所述, 得到Y 的分布函数为上式恰好是区间即证明了
上服从均匀分布的随机变量的分布函数, 在区间（0, 1）上服从均匀分布.
5． 设随机变量X 与Y 相互独立，且方差存在. 证明:
【答案】
6． 证明:若明:
与
是未知参数
的两个UMVUE , 则
依概率几乎处处成立. 这个命题表
的UMVUE 在几乎处处的意义下是唯一的. 【答案】首先指出于是
几乎处处成立.
是0的无偏估计，则已知
由此立即可得几乎处处成立，即
7． 设连续随机变量X 的密度函数为P(x),试证:P(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与从而X 与即数，
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先证充分性. 若是实的偶函数，则又因
有相同的特征函数，
有相同的密度函数，而X 的密度函数为
则X 与
所以得
有相同的特征函
关于原点是对称的.
有相同的密度函数，所以X 与
再证必要性，若
8． 证明:
（1）（2）
.
，移项即得结论.
【答案】（1）由
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
二、计算题
9． 随机变量
试求
和
服从以点
为顶点的三角形区域上的均匀分布，
【答案】记此三角形区域为D （如图阴影部分）
.
图
因为D 的面积为
所以
的联合密度函数为
下求X 和Y , 各自的边际密度函数. 当
时，有
当
时，有
即X 与Y 同分布. 因此由贝塔分布的期望、方差公式可知
由于X 与Y 不独立，所以先计算
由此得
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