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一、证明题

1． 设

则

为独立的随机变量序列，证明:若诸服从大数定律.

所以由马尔可夫大数定律知

2． 设总体二阶矩存在，

【答案】不妨设总体的方差为

服从大数定律. 是样本，证明则

由

由于，

因而

所以

3． 设随机向量

令

证明:

两两不相关的充要条件为

则

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的方差

一致有界，即存在常数c 使得

【答案】因为

与的相关系数为

间的相关系数分别为

且

【答案】充分性:若

同理可得

由此得必要性:若由此得

4． （1）设分布函数

其中

与

分别为总体的分布函数与密度函数.

时，样本极差

的分布函数.

做变换于是

与

其逆变换为

的联合密度为

由此可以算得

的边际密度为

的分布函数为

（2）对于指数分布

由（1）中结果，有

5． 试用特征函数的方法证明分布的可加性:若随机变量

则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得

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两两不相关.

两两不相关，则由上面的推导可知

和分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量，证明极差的

（2）利用（1）的结论，求总体为指数分布【答案】（1）

与

的联合密度函数为

雅可比行列式绝对值为

且X 与Y 独立，

这正是分布的特征函数，由唯一性定理知

6． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:

【答案】由于其中

代回原式即得证.

7． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立， 则

【答案】记这正是二项分布

8． 设随机变量X

有密度函数Y=与

不相关、但不独立. 【答案】因为

不相互独立，特给定

使得

所以X 与

不独立.

所以

这表明:X 与

现考查如下特定事件的概率

不相关.

为证明

因为

的特征函数，由唯一性定理知

且密度函数

是偶函数，假定

证明:X 与

且X 与Y

存在，所以级数

绝对收敛，从而有

所以由X 与Y 的独立性得

二、计算题

9． 设

取拒绝域为

是来自0-1总体

一的样本，考虑如下检验问题

（1）求p=0，0.1, 0.2，…，0.9, 1时的势并由此画出势函数的图； （2）求在p=0.05时，犯第二类错误的概率. 【答案】 （1）势函数的计算公式为:

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